Buffon’s Needle¶

En metode for å beregnig av $\pi$¶

Vi skal utlede sannsynligheten $ P $ for at en nål av lengde $ L $ krysser en av linjene når den kastes tilfeldig på et ark med parallelle linjer med avstand $ D $.

Vi bruker dette til å estimere $ \pi $ via formelen:

$$ \pi = \frac{\text{Antall nåler}}{\text{Krysninger}} $$

Antakelser¶

  • Linjene er parallelle med avstand $D$
  • Nålen har lengde $L \le D$
  • Nålen slippes tilfeldig:
    • Avstanden $x \in [0, \frac{D}{2}]$ fra nålens midtpunkt til nærmeste linje
    • Vinkel $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ mellom nålen og linjene
  • Antar uniform sannsynlighetsfordeling av $x$ og $\theta$
Buffons Needle

Kryssingsbetingelse¶

Nålen krysser en linje dersom:

$$ x \leq \frac{L}{2} \sin \theta $$

Der $x$ er avstanden fra nålens midtpunkt til nærmeste linje.

Sannsynligheten for kryssing¶

Vi integrerer over hele området hvor nålen krysser en linje:

$$ P = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{L \sin \theta}{D} \, d\theta = \frac{2L}{\pi D} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta = [-\cos \theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1 $$

$$ \Rightarrow P = \frac{2L}{\pi D} $$

Spesialtilfelle: $ L = \frac{D}{2} $¶

Man kan ha forhold mellom $L$ og $D$, men dette forholdet gir et svært pent uttrykk. $$ P = \frac{2 \cdot \frac{D}{2}}{\pi D} = \frac{1}{\pi} \Rightarrow \boxed{P = \frac{1}{\pi} \Leftrightarrow \pi = \frac{1}{P}} $$

Konklusjon¶

Hvis man kaster mange nåler med $ L = \frac{D}{2} $, og teller hvor mange som krysser en linje:

$$ \boxed{ P = \frac{\text{Krysser}}{\text{Antall}} = \frac{1}{\pi} \quad \Rightarrow \quad \pi = \frac{\text{Antall}}{\text{Krysser}} } $$

Dette er Buffon’s metode for å estimere $ \pi $ med nålekasting!